CONVERTIR DE UNA BASE A OTRA

En el día de hoy vamos ha hablar sobre cómo pasar un número de una base a otra.

La base son los símbolos que usamos para representar cantidades.

Nosotros normalmente usamos la base 10, los símbolos son:

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ,9)

Cuando llegamos al 9, ya no hay más dígitos por lo que empezamos a utilizar dos cifras para seguir contando:   9 → luego 10 → que significa una decena y cero unidades.

Por lo que la base de dice cuántos símbolos diferente puedes utilizar antes de tener que pasar a la siguiente posición.

EJEMPLOS DIFERENTES DE BASES:

Figura 1

• En base 2, solo encontramos 0 y 1
• En base 8, encontramos ocho símbolos (0 al 7)
• En base 10, encontramos diez símbolos (0 al 9)
• En base 16, encontramos 16 símbolos (0-9 y letras A-F)

La base es importante ya que el valor de un número cambia según la base, por lo que el mismo número escrito puede significar cosas distintas dependiendo de la base.

                                                                            Figura 2

Según Jimenez et al. (2024) para realizar cambios de base con éxito, es obligatorio entender el valor posicional (cuánto vale un número, según donde está ubicado) y la expansión de un número, (descomponer el número en potencias de su base).

¿Cómo funciona una base?

- En base 10, cada posición vale:

• 1, 10, 100, 1000, … (porque es base 10).

- En base 2, cada posición vale:

• 1, 2, 4, 8, 16, … (porque es base 2).

Por ello el lugar donde se encuentre el número importa.

Por ejemplo:

        345= 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1

Cómo convertir de una base a (base 10)

1. Escribimos el número empezando por el final de manera vertical empezando.
2. Multiplicamos cada dígito por la base
3. Y en cada cifra anotamos la potencia de la base que le corresponde.
4. Sumamos los resultados

Ejemplo (1101)₂ → base 10

        1 x 2⁰ = 1 x 1 = 1

        0 x 2¹ = 0 x 2 = 0                                           1+ 0 + 4 + 8 = 13

        1 x 2² = 1 x 4 = 4                                           (1101)₂ = (13)₁₀

        1 x 2³ = 1 x 8 = 8

Cómo pasar de base 10 a otra base

Para ir de la base 10 a otra base usamos las divisiones:

1. Dividimos el número entre la base
2. Guaramos el resto (será nuestro último digito)
3. Tomamos el cociente (la parte entera) y volvemos a dividirlo.
4. Repetimos sucesivamente hasta que el cociente sea menor que el divisor.
5. Escribimos los restos de abajo hacia arriba.

    División     Cociente       Resto

45 ÷ 2

22

1

22 ÷ 2

11

0

11 ÷ 2

5

1

5 ÷ 2

2

1

2 ÷ 2

1

0

      1 ÷ 2               0                 1

Tomamos los restos desde abajo: 101101

45₁₀= (101101)₂

Pasar de una base a otra

En este caso debemos de seguir los dos pasos que hemos visto anteriormente para llegar a la base que queremos:

1. Primero pasamos en número a base 10.
2. Después pasamos ese número en base 10 a la nueva base que queremos a través de la división como hemos visto anteriormente.

Vamos a ver un ejemplo completo para verlo mejor:

Queremos pasar 2534₇ a base 4. 

Primero lo pasamos a base 10.

        4 x 7⁰ = 4 x 1 = 4

        3 x 7¹ = 3 x 7 = 21                                          4+ 21 + 49 + 686 = 956

        5 x 7² = 5 x 49 = 245                                          2534₇ = 956₁₀

        2 x 7³ = 2 x 343 = 686

Luego pasamos de base 10 a base 4. Convertimos 956 a base 4 a través de la división.

            

División	Cociente	Resto

956 ÷ 4

239

0

239 ÷ 4

59

3

59 ÷ 4

14

3

14 ÷ 4

3

2

Ahora leemos el último cociente y los restos de abajo hacia arriba: 32330₄

Resultado final: 2534₇ = 32330₄

Y si el número tiene "coma" (parte decimal)?

Si el número incluye decimales, mejor multiplicar que dividir.
Pasos a seguir:

1. Primero multiplica la parte decimal por la base.
2. El entero resultante es el próximo dígito.
3. Ahora, quédate con la nueva parte decimal, la que viene después de la coma.
4. Repite el proceso hasta que llegue a cero, o hasta tener suficientes dígitos.

Operación	Resultado	Dígito

0.625 × 2

1.25

1

0.25 × 2

0.5

0

0.5 × 2

1.0

1

Ahora juntamos los dígitos en orden: 0.101₂

0.625₁₀ = 0.101₂

Para comprender mejor como se realiza os dejo un vídeo explicativo de ayuda:

Recursos para trabajar con ello: 

• Random Base Conversion (JetPunk):  se trata de un juego de conversión de bases con muchos retos(binario, hexadecimal, etc.)
• Actiludis: se trata de una página web con fichas imprimibles que incluyen diferentes actividades para practicar el cambio de bases.
• Wordwall: es un recurso para jugar con los cambios de bases, a través de preguntas y actividades.
  

Una estrategia útil para trabajar con el alumnado, el cambio de bases, proponer retos o fichas de ejercicios que refuercen el aprendizaje. Aunque estas permiten repasar lo aprendido, sea aconseja que el alumnado participe de forma activa, creando sus propios retos y fichas para maximizar la comprensión (Alfaro y Chavarría, 2003).

En definitiva, el cambio de una base a otra es una herramienta fantástica para despertar la curiosidad y fomentar el pensamiento abstracto en nuestra clase, nos ayuda a tener una mente matemática mucho más ágil y abierta.

Hasta aquí la información de hoy, ¡nos vemos pronto! 🤗

Bibliografía:

Alfaro Valverde, A., & Chavarría Chavarría, G. (2003). Uso de las fichas didácticas en v grado de la educación primaria: visión de los educadores en San Ramón. Revista Educación, 27(2), 103–119. https://doi.org/10.15517/revedu.v27i2.3880

Jiménez Villanueva, M. P., Aragón García, M., Castillo Cabrera, G., & Muñoz Salazar, L. (2024). Intervención didáctica para cambio de base de un número entero mediante el trabajo por proyectos. Innovación educativa (México, DF), 24(96), 10-36.